Шпаргалка по методам решения дифференциальных уравнений
Разделяющиеся переменные
\( y' = f(x)g(y) \)
  1. \( \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \)
  2. \( \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx \)
  3. \( \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C \)
Однородные уравнения
\( y' = f\left(\frac{y}{x}\right) \)
  1. \( u = \frac{y}{x} \), \( y = ux \)
  2. \( y' = u'x + u \)
  3. \( u'x + u = f(u) \)
  4. \( \frac{du}{f(u)-u} = \frac{dx}{x} \)
Линейные уравнения
\( y' + P(x)y = Q(x) \)
  1. \( \mu = e^{\int P dx} \)
  2. \( \mu y' + \mu P y = \mu Q \)
  3. \( \frac{d}{dx}[\mu y] = \mu Q \)
  4. \( \mu y = \int \mu Q dx + C \)
Уравнения Бернулли
\( y' + P y = Q y^n \)
  1. \( y^{-n}y' + P y^{1-n} = Q \)
  2. \( z = y^{1-n} \)
  3. \( z' = (1-n)y^{-n}y' \)
  4. \( \frac{z'}{1-n} + P z = Q \)
Полные дифференциалы
\( M dx + N dy = 0 \)
  1. Проверить \( M_y = N_x \)
  2. \( U(x,y) \): \( U_x = M \), \( U_y = N \)
  3. Решение: \( U(x,y) = C \)
Замена для однородных
\( y' = f\left(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\right) \)
  • Пересекающиеся: \( x = u + \alpha \), \( y = v + \beta \)
  • Параллельные: \( z = ax + by \)
Важные интегралы
\( \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C \)
\( \int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \)
\( \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C \)
Задача Коши
  1. Найти общее решение
  2. Подставить нач. условия
  3. Найти постоянную C
  4. Записать частное решение
Метод вариации постоянной
\( y' + P y = Q \)
  1. Решить однородное: \( y_0 = Ce^{-\int P dx} \)
  2. Замена: \( C = C(x) \)
  3. Подставить в исходное
  4. Найти \( C(x) \)
Ур-ние в полных дифф.
\( M dx + N dy = 0 \)
  1. Проверить \( M_y = N_x \)
  2. \( U = \int M dx + \varphi(y) \)
  3. \( \frac{\partial U}{\partial y} = N \)
  4. Найти \( \varphi(y) \)
Однородные функции
\( f(tx,ty) = t^n f(x,y) \)
  1. Степень однородности n
  2. Замена \( y = ux \)
  3. Привести к разделяющимся
Линейные однородные 2-го порядка
\( y'' + py' + qy = 0 \)
  1. Хар. ур-ние: \( k^2 + pk + q = 0 \)
  2. Корни \( k_1, k_2 \)
  3. \( k_1 \neq k_2 \): \( y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x} \)
  4. \( k_1 = k_2 \): \( y = (C_1 + C_2x)e^{k_1x} \)
Неоднородные линейные
\( y'' + py' + qy = f(x) \)
  1. Найти общее однородного
  2. Метод вариации/подбора
  3. Частное решение
  4. Общее = однородное + частное
Уравнение Эйлера
\( x^2y'' + pxy' + qy = 0 \)
  1. Замена \( x = e^t \)
  2. \( y'_x = y'_t e^{-t} \)
  3. \( y''_{xx} = (y''_{tt} - y'_t)e^{-2t} \)
  4. Привести к постоянным коэфф.
Понижение порядка
\( F(x, y', y'') = 0 \)
  1. Замена \( y' = p \)
  2. \( y'' = p' \)
  3. Решить относительно p
  4. Проинтегрировать
Уравнение Клеро
\( y = xy' + f(y') \)
  1. Дифференцировать по x
  2. \( y''(x + f'(y')) = 0 \)
  3. \( y'' = 0 \) или \( x = -f'(y') \)
  4. Общее и особое решение
Уравнение Лагранжа
\( y = xf(y') + g(y') \)
  1. Замена \( y' = p \)
  2. Дифференцировать по x
  3. Линейное относительно x(p)
  4. Найти x(p), затем y(p)
Дифференциальные уравнения - компактная шпаргалка для экзамена